FAKTORISASI BILANGAN BULAT

Hallo soba Mathematics, kali ini saya membahas tentang Faktorisasi Bilangan Bulat. Semoga bermanfaat and Enjoyyy

Bilangan Prima

a dan b dikatakan saling prima apabila (a,b) = 1

Apabila (,  ,  , ... , ) = 1, maka dikatakan bahwa ,  ,  , ... ,  saling prima. Bilangan-bilangan bulat positif ,  ,  , ... , , saling prima dua-dua (saling prima sepasang) jika ( , ) = 1 untuk i = 1,2,3,...,n dan j = 1,2,...,n dengan i  j

Contoh :

(5, 8, 9) = 1

5,8,9 dikatakan saling prima dua dua sebab (5,8) = (5,9) = (8,9) = 1

(3, 4, 8, 9) = 1

3, 4, 8, 9 dikatakan saling prima tetapi bukan saling prima dua dua karena (3,9) = 3 dan (4,8) = 4

Definisi 1

Bilangan bulat positif yang lebih besar 1 dan tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri disebut bilangan prima.

Barisan bil. Prima : 2,3,5,7,11,13,17,...

Barisan bil. Komposit : 4,6,8,9,10,12,14,15,...

Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit (tersusun).

1 bukan bilangan prima dan bukan pula bilangan komposit.

1 disebut unit

Teorema 4.1 :

Setiap bilangan bulat positif dan yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima.

Bukti:

Karena n suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu maka n mempunyai sekurang-kurangnya satu faktor bulat positif, katakana n sendiri.

Sehingga n mesti mempunyai faktor bulat positif terkecil, misalnya q maka q adalah suatu bilangan prima. Jika q bukan bilangan prima, maka q = q1q2 dengan 1 < q1 < q sehingga q1 faktor bulat positif dari n, tetapi karena q adalah faktor bulat positif terkecil dari n, maka terdapat kontradiksi.

Teorema 4.2 :

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima.

Bukti:

Menurut teorema 4.1 ada suatu bilangan prima p1 sedemikian hingga p1 | n. sehingga ada suatu bilangan positif n1, sehingga

N = p1n1 dengan 1 ≤ n1 < n.

Jika n1 = 1, maka n = p1 sehingga n suatu bilangan prima tetapi jika n1 > 1, maka menurut teorema 4.1 sehingga

N1 = p2 n2 dengan 1 ≤ n2 < n1

jika n2 = 1, maka n1 = p2 sehingga n = p1p2. berarti teorema terbukti. Tetapi jika n2 > 1, maka ada suatu bilangan prima p3 sedemikian hingga

N2 = p3n3 dengan 1 ≤ n3 < n2

jika n3 = 1, maka n2 = p3 sehingga n = p1p2p3. berarti teorema terbukti . Tetapi jika n3 > 1, Maka proses seperti diatas . akan berulang hingga nk = 1. maka diperoleh n = p1p2p3 . . . Pk. Yaitu bilangan bulat positif n > 1 dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima

Teorema-teorema selanjutnya
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/faktorisasi-bilangan-bulat_24.html

Perkongruenan Linier

Hallo sobat Mathematics, kali ini saya akan membahas tentang materi Perkongruenan. ini adalah lanjutan dari postingan saya sebelumnya, agar kalian lebih paham alangkah baiknya melihatnya terlebih dahulu postingan saya sebelumnya.

Semoga bermanfaat and enjoyyy

Teorema 5.12

Jika (a, m) = d dan d | b maka perkongruenan linear ax ≡ b (mod m) memiliki tepat d solusi

Bukti :

 Pengkongruenan linier memiliki d solusi.

(a,m) = d, berarti ada a' dan m'  sehingga

a = da'  dan m = dm' 

d │b berarti ada b'  sehingga b = db' 

sehingga dari ax ≡ b (mod m) memberikan

                    da' x ≡ db'  (mod dm' ) atau

                      a' x ≡ b'  (mod m' ).

Dari (a,m) = d memberikan (da' , dm) = d atau (a' ,m' ) = 1. Menurut teorema 5.11. Jika (a' , m' ) = 1, mka a' x ≡ b'  (mod m' ) memiliki satu solusi. Misalkan solusi itu r, maka d buah bilangan, yaitu r, r + m' , r + 2m' , ..., r + (d - 1) m'  atau e + km'  untuk k = 0, 1, 2, 3, ..., (d -1) semuanya adalah solusi dari perkongruenan ax ≡ b (mod m). Hal ini ditunjukkan demikian.

Pertama setiap r + km'  dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) memenuhi perkongruenan ax ≡ b (mod m).

ax = a (r + km' ) = da'  (r + km' )

     = da' r + da'  km' 

     = a' rd + a'  km'  d

Karena a¢r ≡ b¢ (mod m¢) dan m¢d = m, maka

ax ≡ a¢rd + a¢ km¢ d (mod m)

     ≡ b¢ d + a¢ km (mod m)

     ≡ b¢ d (mod m)

ax ≡ b (mod m) karena  b = b¢ d

Jadi, r + km¢ untuk k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) memenuhi perogruenan ax ≡ b (mod m).

Kedua, setiap r + km¢ dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) adalah residu terkecil modulo m. Ditunjukkan demikian

     r adalah solusi dari a¢x ≡ b¢ (mod m) berarti r ≥ 0 sehingga 0 ≤ r + km¢

     r + km¢ ≤ r + (d - 1) m¢ untuk setiap k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1)

     r + (d - 1) m¢ < m¢ + (d - 1) m¢

                                m + (d - 1) m¢ = dm¢ = m

Jadi, 0 ≤ r + km¢ < 1.

Ini mengatakan bahwa r + km¢ untuk k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) adalah residu-residu terkecil modulo m.

Ketiga, tak ada dua bilangan di antara r + km¢ untuk k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) yang kongruen modulo m, sebab r + km¢ untuk k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) adalah residu-residu terkecil modulo m yang berbeda

Teorema 5.13

Persamaan linear diophantus a’x + b’y = c’ yang diperoleh dari ax + by = c  dengan a’ = a : (a , b), b’ = b : (a , b), c’ = c : (a , b) mempunyai suatu penyelesaian (solusi)  x = r dan y = s, maka himpunan semua penyelesaian dari ax + by = c adalah {(x, y) │ x ≡ r + b’t, y ≡ s – a’t dan t bilangan bulat}.

Teorema 5.14

Sistem perkongruenan linier x ≡ a1 (mod mi), i = 1, 2, 3, ..., k dengan (mi, mj) = 1 untuk setiap i ≠ j memiliki solusi bersama modulo m dan solusi bersama itu tunggal dengan m = m1,m2,m3,.....mk

Bukti :

Sistem perkongruenan linier x ≡ a1 (mod mi) untuk i = 1, 2, 3, ..., t mempunyai solusi bersama modulo (m1, m2, ..., mt).

Pembuktian dengan induksi matematika untuk bilangan asli k.

Untuk k = 1 berarti x ≡ a1 (mod m1) jelas mempunyai solusi.

Untuk k = 2, yaitu sistem perkongruenan x ≡ a1n(mod m) dan x ≡ a2 (mod m2) dengan (m1, m2) = 1.

x ≡ a1 (mod m1) berarti x = a1 + k1 m1 untuk suatu bilangan bulat k1.

Sehingga a1 + k1 m1 ≡ a2 (mod m2)

                 k1 m1 ≡ a2 ­- a1 (mod m2) dengan k1 suatu variabel.

     Karena (m1, m2) = 1 maka perkongruenan terakhir ini mempunyai satu solusi untuk k1 modulo m2, katakanlah t, maka k1 = t + k2 m2  untuk suatu k2 memenuhi perkongruenan terakhir itu.

Jadi x = a1 + k1 m1 = a1 + (t + k2 m2) m1

       x = (a1 + tm1) + k2 m1 m2

Ini berarti x ≡ (a1 + tm1)(mod m1 m2).

     Perkongruenan ini memenuhi perkongruenan untuk k = 2. Sekarang, sebagai hipotesis diambil bahwa sistem perkongruenan linier x ≡ a1 (mod m1) mempunyai satu solusi bersama untuk i = 1, 2, 3, ..., (r - 1).

    Misalkan solusi bersama itu    s, maka sistem x ≡ a1 (mod m1), i = 1, 2, 3, ..., (r - 1) dapat dinyatakan sebagai suatu perkongruenan, yaitu :

     x ≡ s (mod m1, m2, m3, ..., mr - 1)

Sehingga r perkongruenan itu dapat dinyatakan sebagai dua perkongruenan yaitu :

   x = s (mod m1, m2, m3, ..., mr - 1)

   x = ar (mod mr)

Sistem perkongruenan dari dua perkongruenan ini mempunyai solusi bersama mod (m1, m2, m3, ..., mr - 1, mr) = 1 sebab mi dan mj saling prima untuk i ≠ j.



Postingan sebelumnya
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/perkongruenan-linear.html

Perkongruenan Linear

Hallo sobat Mathematichs, kali ini saya akan membahas materi tentang Perkongruenan Linier. Seomga bermanfaat dan Enjoyy

Setelah kita mempelajar pengertian relasi kekongruenan,sifat sifat dan kegunaannya. Berikut ini akan dipelajari perkongruenan linear.Kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan disebut perkongruenan

Misalnya :

X⁴+ 3x – 3  0 (mod31)

         Suatu perkongruenan,variabelnya berpangkat paling tinggi satu disebut perkongruenan linear.

3x  4 (mod5)3x  4 (Bentuk umum perkongruenan linear adalah :

3x  4 (mod5)3x  4 (mod5)
Bentuk umum perkongruenan linear adalah :

   ax   b (mod m), dengan a0 (mod m)

         Kita telah mengerti bahwa ax b (mod m) berarti ax – b = km atau ax = b + km, untuk suatu bilangan k.Jadi perkongruenan linear ax  b (mod m) akan mempunyai solusi ( penyelesaian ) bila dan hanya bila ada bilangan bilangan bulat x dan k yang memenuhi persamaan

   ax – b = km

       Misal r memenuhi perkongruenan linear ax  b (mod m), berarti ar  b (mod )

Teorema 5.10

Jika (a, m) | b maka perkongruenan linear ax  b (mod m) tidak memiliki solusi

Bukti :

(Pembuktian dengan kontraposisi)

            Misalkan r adalah solusi dari ax ≡ b (mod m) maka ar ≡ b (mod m) sehinggan ar – b = km untuk suatu bilangan bulat k.

            Perhatikan bahwa ar – b = km, (a,m) │a dan (a,m) │b. Terbuktilah kontraposisi dari teorema itu, sehingga terbukti pula teorema itu.

Contoh :

6x ≡ 7 (mod 8) karena ( 6,8 ) = 2 dan 1 + 7  maka pengkongruenan 6x ≡ 7 (mod 8) tidak mempunyai solusi.

Teorema 5.11

Jika (a,m) = 1, maka perkongruenan linear ax  b (mod m) memiliki tepat satu solusi

Bukti :

Jika ( a,m ) = 1, maka ada bilangan bulat r dan s sehingga ar + ms = 1. Jika kedua ruas dari persamaan ini dikalikan b, diperoleh :

(ar) b + (ms) b = b

a (rb) + m (sb) = b

a (rb) – b = -(sb) m

Persamaan terakhir ini berarti  bahwa a (rb) – b adalah kelipatan m.

            Jadi, a (rb) = b (mod m)

Maka residu terkecil dari rb modulo m adalah solusi dari perkongruenan linier itu. Sekarang tinggal menunjukkan bahwa solusi itu tunggal.

Andaikan solusi perkongruenan linier itu tidak tunggal, misalkan dan masing-masing solusi dari ax ≡ b (mod m), maka

            ar ≡ b (mod m) dan as ≡ b (mod m)

Dengan sifat transitif diperoleh bahwa

            ar ≡ as (mod m). Karena (a,m) = 1, maka

            r ≡ s (mod m). Ini berarti m │(r – s)

           Tetapi karena r dans adalah solusi dari perkongruenan itu, maka r dan s masing-masing residu terkecil modulo m, sehingga

            0 ≤ r < m dan 0 ≤ s < m

            Dari kedua ketidaksamaan ini diperoleh bahwa -m < r - s < m, tetapi karena m │(r - s) maka r - s = 0 atau r = s. Ini berarti bahwa solusi dari perkongruenan linier tunggal (terbukti).

            Salah satu cara menyelesaikan perkongruenan linier adalah memanipulasi koefisien atau konstan pada perkongruenan itu, sehingga memungkinkan kita untuk melakukan konselasi (penghapusan).


Teorema-teorema selanjutnya
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/perkongruenan-linier.html

Kesulitan Belajar Matematika

Hallo Sobat Mathematics, kali ini saya akan membahas tentang Kesulitan Belajar Matematika. Semoga bermanfaat and Enjoyy

Pengertian kesulitan belajar

     Keadaan dimana seseorang mengalami kesulitan dalam melakukan suatu perubahan pengetahuan, pemahaman, sikap dan tingkah laku, kebiasaan, dan perubahan aspek lain

Yang ada pada manusia setelah berinteraksi dengan lingkungan tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lain dengan jumlah yang banyak yang terbagi kedalam tiga bidang yaitu aljabar, analisis, dan geometri.

Fakta

A.Pengertian

  Fakta  adalah perjanjian yang dibuat dalam Matematika. Misalnya Lambang,

  Nama, Istilah, serta perjanjian.

B. Faktor kesulitan

-     Matematika penuh dengan symbol-symbol dan istilah yang asing sehingga sulit dipahami siswa

-     Besar dengan pola ajar berbasis hal-hal konkrit yang akan membuat siswa merasa sedikit kesulitan

-     Matematika itu Abstrak

C. Akibat kesulitan

   Siswa kesulitan dalam mengerjakan soal Matematika

Contoh

Konsep

A. Pengertian

-     Ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklarifikasikan sekumpulan objek.

-     Konsep menunjuk pada pemahaman dasar siswa untuk mengembangkan X mengelompokan pemecahan masalah.

-

B.  Penyebab kesulitan

-     Kekurang pahaman tentang symbol

-     Penggunaan proses yang keliru

-     Perhitungan

-     Tulisan yang tidak bisa dibaca

C.  Upaya mengatasi

-     Perlunya membangun pondasi  yang kuat tentang konsep & keterampilan Matematika.

-     Tidak menekankan pada system Menghafal, Melainkan penerapan   Rumus pada latihan-latihan soal.

-     Memberikan kesempatan untuk siswa mencoba berbagai jenis soal dengan tingkat kesulitan yang berbeda.

Contoh

Prinsip

A. Pengertian

    Prinsip yaitu pernyataan yang menyatakan berlakunya suatu hubungan antara beberapa konsep. Pernyataan itu dapat menyatakan sifat-sifat suatu konsep, atau hukum-hukum atau teorema atau dalil yang berlaku dalam konsep itu (Soleh, 1999: 8)

B.  Akibat Kesulitan

    Siswa sulit memahami pokok-pokok permasalahan dalan soal yang diberikan.

C.  Faktor – Faktor

-     Siswa tidak mempunyai konsep yang dapat digunakan untuk mengembangkan prinsip

-     Kurang atau minimnya dari konsep dasar secara kemampuan,

-     Siswa kurang paham dengan prinsio yang telah diajarkan.

D. Upaya

    Dengan beberapa metode yaitu :

·      Inquiri

·      Diskusi kelompok

·      Siswa harus benar benar paham konsep dasar soal terlebih dahulu.

·

Contoh

1. ” jika kedua  Ruas persamaan ditambah dengan suatu bilangan yang sama, maka diperoleh persamaan baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dengan himpunan penyelesaian. Prinsip ini digunakan dengan penyelesaian suatu persamaan.
2. Contoh prinsip dalam bentuk rumus antara lain rumus kuadrat   (rumus ABC), teorema phythagoras, dan sebagainya.

Skill

A. Pengertian

    Merupakan prosedur mempercepat pengerjaan , namun tetap didasarkan logika yang benar.

B.  Akibat kesulitan

    Kesulitan keterampilan untuk mengoperasikan bilangan biasanya terjadi pada siswa yang berkemampuan lemah sehingga mengalami kesulitan dan kurang terampil dalam mengoperasikan bilangan. 

C.  Faktor

    Disebabkan karena dalam mempelajari materi pelajaran dasar ternyata siswa tidak menguasai materi yang telah diberikan. Ketidakmampuan dalam operasi bilangan dan perhitungan yang tidak tepat, maka akan menghasilkan jawaban yang salah. Kesulitan

D. Upaya

1.   Jangan paksa siswa untuk bisa menguasai matematika

2.  Padukan matematika dengan dunia nyata

3.  Menyampaikan materi pelajaran matematika dengan bercerita dan memberi contoh

Contoh

Proses yang menggunakan opersi dasr dalam penjumlahan,pengurangan,perkalian,maupun pembagian.