Perkongruenan Linear

Hallo sobat Mathematichs, kali ini saya akan membahas materi tentang Perkongruenan Linier. Seomga bermanfaat dan Enjoyy

Setelah kita mempelajar pengertian relasi kekongruenan,sifat sifat dan kegunaannya. Berikut ini akan dipelajari perkongruenan linear.Kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan disebut perkongruenan

Misalnya :

X⁴+ 3x – 3  0 (mod31)

         Suatu perkongruenan,variabelnya berpangkat paling tinggi satu disebut perkongruenan linear.

3x  4 (mod5)3x  4 (Bentuk umum perkongruenan linear adalah :

3x  4 (mod5)3x  4 (mod5)
Bentuk umum perkongruenan linear adalah :

   ax   b (mod m), dengan a0 (mod m)

         Kita telah mengerti bahwa ax b (mod m) berarti ax – b = km atau ax = b + km, untuk suatu bilangan k.Jadi perkongruenan linear ax  b (mod m) akan mempunyai solusi ( penyelesaian ) bila dan hanya bila ada bilangan bilangan bulat x dan k yang memenuhi persamaan

   ax – b = km

       Misal r memenuhi perkongruenan linear ax  b (mod m), berarti ar  b (mod )

Teorema 5.10

Jika (a, m) | b maka perkongruenan linear ax  b (mod m) tidak memiliki solusi

Bukti :

(Pembuktian dengan kontraposisi)

            Misalkan r adalah solusi dari ax ≡ b (mod m) maka ar ≡ b (mod m) sehinggan ar – b = km untuk suatu bilangan bulat k.

            Perhatikan bahwa ar – b = km, (a,m) │a dan (a,m) │b. Terbuktilah kontraposisi dari teorema itu, sehingga terbukti pula teorema itu.

Contoh :

6x ≡ 7 (mod 8) karena ( 6,8 ) = 2 dan 1 + 7  maka pengkongruenan 6x ≡ 7 (mod 8) tidak mempunyai solusi.

Teorema 5.11

Jika (a,m) = 1, maka perkongruenan linear ax  b (mod m) memiliki tepat satu solusi

Bukti :

Jika ( a,m ) = 1, maka ada bilangan bulat r dan s sehingga ar + ms = 1. Jika kedua ruas dari persamaan ini dikalikan b, diperoleh :

(ar) b + (ms) b = b

a (rb) + m (sb) = b

a (rb) – b = -(sb) m

Persamaan terakhir ini berarti  bahwa a (rb) – b adalah kelipatan m.

            Jadi, a (rb) = b (mod m)

Maka residu terkecil dari rb modulo m adalah solusi dari perkongruenan linier itu. Sekarang tinggal menunjukkan bahwa solusi itu tunggal.

Andaikan solusi perkongruenan linier itu tidak tunggal, misalkan dan masing-masing solusi dari ax ≡ b (mod m), maka

            ar ≡ b (mod m) dan as ≡ b (mod m)

Dengan sifat transitif diperoleh bahwa

            ar ≡ as (mod m). Karena (a,m) = 1, maka

            r ≡ s (mod m). Ini berarti m │(r – s)

           Tetapi karena r dans adalah solusi dari perkongruenan itu, maka r dan s masing-masing residu terkecil modulo m, sehingga

            0 ≤ r < m dan 0 ≤ s < m

            Dari kedua ketidaksamaan ini diperoleh bahwa -m < r - s < m, tetapi karena m │(r - s) maka r - s = 0 atau r = s. Ini berarti bahwa solusi dari perkongruenan linier tunggal (terbukti).

            Salah satu cara menyelesaikan perkongruenan linier adalah memanipulasi koefisien atau konstan pada perkongruenan itu, sehingga memungkinkan kita untuk melakukan konselasi (penghapusan).


Teorema-teorema selanjutnya
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/perkongruenan-linier.html