KEKONGRUENAN (Definisi dan Teorema)

Hallo sobat Mathematics, kembali lagi di blog Mathematics yang tidak bosan membahas seputar matematika. Karena matematika itu mudah hehe

Kali ini saya akan membahas materi tentang Kekongruenan. oiya ini adalah postingan lanjutan saya. Agar kalian lebih paham, kalian bisa lihat postingan saya sebelum ini

Semoga bermanfaat and enjoyy

Teorema 5.3

a ≡ b (mod m) bila dan hanya bila a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.

Bukti :

Akan dibuktikan dari dua sisi,

Pertama,

jika a ≡ b (mod m), maka akan ditunjukkan bahwa a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.

Karena a ≡ b (mod m), maka a ≡ r (mod m) dan b ≡ r (mod m), dengan r adalah residu terkecil modulo m atau 0 ≤ r < m. Selanjutnya,

a ≡ r (mod m), berarti a = mq + r, dan

b ≡ r (mod m), berarti b = mt + r, untuk suatu bilangan bulat q dan t, sehingga dapat disimpulkan bahwa a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m. (Terbukti!)

Kedua,

jika a dan b memiliki sisa yang sama, maka akan ditunjukkan a ≡ b (mod m).

Misalkan:

a memiliki sisa r jika dibagi m, berarti a ≡ mq + r, dan

b memiliki sisa r jika dibagi m, berarti b ≡ mt + r, untuk suatu bilangan bulat q dan t,

dari kedua persamaan ini diperoleh :

(a-b) = (mq – mt) + (r-r)

(a-b) = m(q – t)

Karena q dan t adalah suatu bilangan bulat, maka (q-t) adalah suatu bilangan bulat,

menurut teorema 2.1 berarti bahwa :

m|(a-b) atau a ≡ b (mod m). (Terbukti!)

Menurut teorema-teorema terdahulu, ungkapan-ungkapan berikut mempunyai arti yang sama, yaitu :

1. n ≡ 7(mod 8)

2. n = 7 + 8k

3. n dibagi 8 bersisa 7.

Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah relasi antara bilangan-bilangan bulat. suatu relasi disebut relasi ekuivalensi jika relasi itu memiliki sifat reflektif, simetris, dan transitif.

Jika m, a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat dengan m positif, maka :

a. a ≡ a (mod m), sifat reflektif

b. Jika a ≡ b (mod m), maka b ≡ a (mod m), sifat simetris.

c. Jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m), maka a ≡ c (mod m), sifat transitif.

Bukti :

a. Karena a-a = 0.m, maka a ≡ a (mod m).

b. Jika a ≡ b (mod m), maka a-b = k.m, sehingga b-a = (-k).m, yang berarti bahwa b ≡ a (mod m).

c. a ≡ b (mod m), berarti a-b = p.m

b ≡ c (mod m), berarti b-c = q.m

untuk suatu bilangan bulat p dan q, jika kedua persamaan tersebut kita jumlahkan, maka diperoleh:

a-c = (p+q).m

karena p dan q adalah bilangan-bilangan bulat, maka (p + q) bilangan bulat, sehingga

a ≡ c (mod m).

Karena relasi “≡” (kekongruenan) pada himpunan bilangan bulat memenuhi ketiga sifat tersebut, yaitu reflekti, simetris, dan transitif, maka relasi “≡” (kekongruenan) pada himpunan bilangan bulat merupakan relasi ekuivalensi.

(terbukti!).

Karena relasi kekongruenan pada bilangan bulat merupakan relasi ekuivalensi, maka 

akibatnya himpunan bilangan bulat pada kongruen modulo m ini terpartisi menjadi himpunan-himpunan bagian yang setiap himpunan bagian disebut kelas.

Teorema 5.4

Jika a ≡ b (mod m), dan c ≡ d (mod m), maka ( a + c) ≡ (b + d) (mod m).

Bukti :

Jika a ≡ b (mod m), dan c ≡ d (mod m), akan dibuktikan bahwa ( a + c) ≡ (b + d) (mod m).

Kareana a ≡ b (mod m), berarti a = s.m + b, untuk suatu bilangan bulat s.

Karena c ≡ d (mod m), berarti c = t.m + d, untuk suatu bilangan bulat s.

Jika kedua persamaan tersebut dijumlahkan, maka diperoleh bahwa :

(a + c) = (sm + tm) + (b + d)

(a + c) = m(s + t) + (b + d)

(a + c) - (b + d) = m.(s + t)

Hal ini berarti bahwa :

a + c) ≡ (b + d) (mod m)

(Terbukti!)

Contoh :

Jika 20 ≡ 2 (mod 6), dan 25 ≡ 1 (mod 6), maka 45 ≡ 3 (mod 6), sebab 20 + 25 = 45, dan 2 + 1 = 3. 



Postingan sebelumnya
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/kekongruenan.html