FAKTORISASI BILANGAN BULAT

Hallo sobat Mathematics, kali ini saya akan membahas materi tentang Faktorisasi Bilangan Bulat. Oiya ini adalah lanjutan dari ostingan saya sebelumnya. Agar lebih paham alangkah lebih baiknya melihat terlebih dahulu postingan saya sebelumnya

Semoga bermanfaat and Enjoyyy

Teorema 4.3:

Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki faktor k dengan 1 < k £ Ön

Bukti:

Karena n suatu bilangan komposit, maka ada bilangan-bilangan positif k dan m sedemikian hingga:

Km = n dengan 1 < k < n dan 1 < m < n

Apabila k > Ön dan k > Öm maka

n = km > Ön Ön = n

n > n (tidak mungkin). Oleh karena itu, salah satu dari k atau m tidak lebih kecil dari Ön. Jadi, n memiliki faktor k dengan 1 < k £Ön

Teorema 4.4:

Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki suatu faktor prima yang lebih kecil atau sama dengan Ön.

Bukti teorema 4.4 menggunakan kontraposisi, yaitu:

Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki faktor prima p dengan 1 < p ≤ Ön

Contoh

Apakah 907 adalah bilangan prima?

Penyelesaian :

Coba dibagi 907 dengan bilangan-bilangan prima yang kurang dari Ö907

Ö907 = 30,116

Maka bilangan primanya adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 , dan 29. karena tidak ada satupun dari bilangan prima tersebut yang membagi 907, maka 907 adalah bilangan prima.

FAKTORISASI TUNGGAL

Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif atas faktor-faktor prima adalah tunggal sehingga dikenal sebagai faktorisasi tunggal. Berikut ini akan diberikan beberapa teorema yang harus diketahui sebagai persiapan untuk mempelajari faktorisasi tunggal

Teorema 4.5:

Jika p suatu bilangan prima dan p│ab maka p│a dan p│b

Bukti:

       karena p suatu bilangan prima, maka untuk sebarang bilangan bulat a berlaku (a, p) = 1 atau (a,p) = p. jika (a,p) = 1 dan p | ab. Karena p | b dan jika (a,p) = p maka p | a. jadi terbukti bahwa p | a atau p | b

Teorema 4.6:

Jika suatu bilangan prima dan p│a₁, a₂, a₃, ... , a_n maka p│a_i untuk suatu i = 1, 2, 3, ... , n

Bukti :

Pada teorema 4.2 kita telah membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian dari bilangan-bilangan prima tertentu. Sekarang kita akan membuktikan bahwa faktor-faktor  prima tersebut adalah tunggal.

Ambil sembarang bilangan bulat positif  n 1. Jika n suatu bilang prima, maka n adalah faktornya sendiri. Jika n suatu bilangan komposit dan diandaikan bahwa pemfaktoran n atas faktor prima adalah tidak tunggal,misalnya n = p₁,p₂,p₃,…,p_t dan n = q₁,q₂,q₃,…q_r dengan p_i dan q_j masing-masing adalah bilangan prima untuk  i = 1,2,3,…,r serta  p₁  dan q₁

Karena n = p₁p₂ …p_t maka  p₁|n sehingga p₁|q₁q₂q₃…qr dan selanjutnya menurut perluasan teorema 4.5,maka p₁-q_k untuk suatu k dengan 1  dan mengingat q1

Karena n =q₁q₂…q_r maka q₁|n sehingga q₁ |p₁p₂…p_t. dan menurut perluasan teorema 4.5,maka q₁=p_m.untuk suatu m denga 1  dan mengingat p1

Karena p1  sehingga dari permisalan n di atas kita memperoleh bahwa p₂,p₃…p_t=q₂q₃…q_r. Bila proses ini diteruskan,maka kita akan memperoleh bahwa p₂=q₂ sehingga p₃ p₄…p_t=q₃q₄…q_r. P₃=q₃ sehingga p₄ p₅…p_t=q₄ q₅ …q_r   dan seterusnya.

Apabila t=r maka proses tersebut akan berakhir pada p_t=q_r dan teorema terbukti. Tetapi apabil t maka akan diperoleh bahwa :

                   1=q₁+1 q₁+2 q₁+3…qr.

Hal ini mustahil,karena q_t+1q_t+2q_t+3…q_r adalah bilangan-bilangan prima,maka haruslah t=r sehingga :

                   P₁=q₁.p₂=q₂.p₃=q₃…p_t=q_r

Ini berarti bahwa bilangan bulat positif n tersebut hanya dapat dinyatakan sebagai hasilkali faktor-faktor prima secara tunggal.

Teorema 4.7 (Teorema Euclides)

Banyaknya bilangan prima adalah tak hingga

Taeorema 4.8:

Dalam suatu barisan bilangan prima, jika Pn menyatakan bilangan prima ke-n, maka:

       Pn ≤ 2^2n-1

Postingan sebelumnya
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/faktorisasi-bilangan-bulat.html