Sistem Perkongruenan Linier

Hallo sobat Mathematics, kembali lagi di blog Mathematics yang tidak bosan membahas seputar matematika. Karena matematika itu mudah hehe

Kali ini saya akan membahas materi tentang Sistem Perkongruenan Linier. Oiya ini adalah lanjutan dari postingan saya sebelumnya. Agar lebih paham kalian bisa lihat posingan saya sebelumnya

Semoga bermanfaat and enjoyy

Definisi 5.4

Misalkan A = (aij) dan B = (bij) masing –masing berukuran n x k yang elemen – elemennya bilangan – bilangan bulat. Matriks A kongruen dengan matriks B modulo m, dinotasikan A ≡ B (mod m), jika aij ≡ bij (mod m) untuk setiap pasangan (i,j)  dengan 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ k.

Teorema 5.16

Jika A = (aij) dan B = (bij) adalah matrik – matriks berukuran n x k dengan A ≡ B (mod m), C = (cij) ialah matriks berukuran k x p dan D = (dij) ialah matriks berukuran t x n, maka AC ≡ BC (mod m) dan DA ≡ DB (mod m)

Bukti :

      Misalkan unsur unsur dari A dan B berturut – turut adalah aij dan bij untuk 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ k, unsur dari C adalah cij untuk 1 ≤ i ≤ k dan 1 ≤ j ≤ p. Unsur ke (i,j) dari AC dan BC berturut-turut adalahdan

karena A = B (mod m), maka ait ≡ bit (mod m). Akibatnya AC ≡ BC (mod m). Dengan cara yang sama dibuktikan bahwa DA ≡ DB (mod m).

Definisi 5.5

     Jika A adalah matriks – matriks berukuran n x n yang elemen – elemennya bilangan bulat sedemikian sehingga A A^-1 ≡ A^-1 A ≡ I (mod m), dengan I ialah matriks identitas berukuran n, maka A^-1 disebut invers dari A modulo m.

     Jika A^-1 adalah invers dari A dan B ≡ A^-1 (mod m), maka B juga invers dari A. hal ini mengikuti teorema 5.16, karena BA ≡ A^-1 ≡ I (mod m). Sebaliknya jika B1 ≡ B2 (mod m). Untuk menunjukan hal ini, kita gunakan teorema 5.16, dari kekongruenan B 1 A ≡ B2A ≡ I (mod m), kita mempunyai B1AB1 ≡ B2AB1 (mod m). Karena AB1 ≡ I (mod m), kita dapat menyimpulakn B1 ≡ B2(mod m).

Contoh 5.29

Tampak disini bahwa matriks

Teorema 5.17

Misalkan A =adalah matiks yang elemennya bilangan-bilangan bulat, sedimikian sehingga det A = ∆ = ad – bc prima relatif terhadap bilangan bulat positif m. Maka A^-1 = ∆^-1 adalah inver dari modulo m.

Bukti :

Untuk menunjukkan bahwa matiks adalah invers dari A modulo m, cukup menunjukkan bahwa A A^-1 ≡ A^-1 A ≡ I (mod m). 

Dimana ∆^-1 adalah invers dari ∆ modulo m yang terjadi karena (∆,m) = 1

Contoh :

Misalkan maka det A = 7

Karena invers dari 7 (mod 13) adalah 2 maka diperoleh :

Untuk menyusun rumus invers dari matriks n x n dimana n adalah bilangan  bulat positif, kita perlu menggunakan adjoin dari suatu matriks.

Definisi 5.6

Misalkan A suatu matriks persegi berukuran n. Adjoint dari A diberi simbol adj(A) adalah suatu matriks persehi berukuran  n yang elemen pada baris ke i kolom ke j ialah dij sama dengan (-1)^i+j determinan matriks yang diperoleh dari A dengan menghapus semua elemen pada baris ke i dan kolom ke j.

Teorema 5.18

Jika A suatu matriks persegi dengan ∆ = det A ¹ 0, maka A adj(A) = (det A)I.

Dengan menggunakan teorema ini, kita segera akan mendapatkan rumus invers suatu matriks persegi, seperti yang dinyatakan dalam teorema ini.

Teorema 5.19

Jika A suatu matriks persegi yang elemen-elemennya bilangan bulat dan m suatu bilangan bulat positif sedemikian hingga (∆ , m) = 1, maka invers dari A modulo m adalah

 A^-1 = ∆^-1 adj(A) 




Postingan sebelumnya
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/sistem-perkongruenan-linier.html