Sistem Perkongruenan Linier

Hallo sobat Mathematics, kembali lagi di blog Mathematics yang tidak bosan membahas seputar matematika. Karena matematika itu mudah hehe

Kali ini saya akan membahas materi tentang Sistem Perkongruenan Linier.

Semoga bermanfaat and enjoyy

Teorema 5.15

Misalkan m suatu bilangan asli dan (∆,m) º 1 dengan ∆ º ad - bc, maka sistem perkongruenan linier

         ax + by º e (mod m)

         cx + dy º f (mod m)

Mempunyai penyelesaian (x,y) dengan

         

Dengan ∆^-1 adalah invers dari ∆ mod m

Bukti :

Dari sistem kongruen tersebut, kalikan kongruen pertama dengan d dan juga kedua dengan b,   maka :

ax + by º e (mod m)                   lx dl  adx + dby º de (mod m)    

cx + dy º f (mod m)                   lx bl  cbx + dby º bf (mod m) –

                                                         adx - cbx º de – bf (mod m)

                                                        (ad – cb) x º de – bf (mod m)

Karena ∆ º ad - bc maka ∆x º de – bf (mod m)

Berikutnya kalikan kedua ruas dengan ∆^-1 sehingga diperoleh x º ∆^-1(de - bf) (mod m) dengan cara yang sama kalikan kongruensi pertama dengan c dan juga kedua dengan a maka :           

ax + by º e (mod m)                   lx cl acx + cby º ce (mod m)     

cx + dy º f (mod m)                   lx al cax + day º af (mod m) –

                                                        cby - day º ce – af (mod m)

                                                        (cb – da) y º ce – af (mod m) lx -1l

                                                        (ad – bc) y º af – ce (mod m)

Karena ∆ º ad - bc maka ∆y º af - ce (mod m) kalikan kedua ruas dengan ∆^-1 diperoleh 

y º ∆^-1 (af – ce) mod m

Untuk bahwa mengecek (x,y) dilakukan sebagai berikut :

Dan

Jadi teorema tersebut terbukti

Untuk teorema - teorema selanjutnya dapat dilihat di postingan selanjutnya

https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/sistem-perkongruenan-linier_22.html