KEKONGRUENAN (Definisi dan Teorema)

Hallo sobat Mathematics, kembali lagi di blog Mathematics yang tidak bosan membahas seputar matematika. Karena matematika itu mudah hehe

Kali ini saya akan membahas materi tentang Kekongruenan

Semoga bermanfaat and enjoyy

DEFENISI KEKONGRUENAN

DEFENISI 5.1:

Jika m suatu bilangan bulat positif, maka a kongruen dengan b modulo m [ditulis a ≡ b(mod m)],

bila m membagi (a-b).

Jika m tidak membagi (a-b) maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b modulo m

[ditulis a b (mod m)].

Contoh :

1. 25 ≡ 1 mod 4

    sebab (a-b) terbagi oleh m, (25-1)= 24 terbagi oleh 4.

2. 30 ≡ 2 mod 7

    sebab (a-b) terbagi oleh m, (30-2)= 28 terbagi oleh 7.

Teorema 5.1.

a ≡ b (mod m)bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga a = mk + b.

Bukti:

a ≡ b (mod m)

akan ditunjukkan bahwa a = mk + b

Dari defenisi 1 diatas didapat bahwa :

a ≡ b (mod m), bila dan hanya bila m|(a-b).

Karena m|(a-b), maka m > 0

karena m|(a-b), maka ada bilangan bulat k, sehingga (a-b) = mk

Contoh :

Jika 25 ≡ 4 (mod 7) maka ada bilangan bulat k = 3.

yaitu 25-4 = 7k

   21 = 7.3

Jadi a ≡ b (mod m), bila dan hanya bila a-b = mk, untuk setiap bilangan bulat k.

Karena a-b = mk sama artinya dengan a = mk + b,

Atau dengan kata lain:

a ≡ b (mod m) bila dan hanya bila a = mk + b.

Contoh :

25 ≡ 4 (mod 7), sama artinya dengan 25 = 7.3 + 4, dimana k = 3

Teorema 5.2.

Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0,1,2,3,...,(m-1).

Bukti :

Kita telah mempelajari bahwa jika a dan m bilangan- bilangan bulat, dan m > 0, menurut algoritma pembagian, maka a dapat dinyatakan sebagai :

                            a = mq + r, dengan 0 ≤ r < m

Ini berarti bahwa a-r = mq, yaitu a ≡ r (mod m).

Karena 0 ≤ r < m, maka ada m buah pilihan untuk r, yaitu : 0,1,2,3,...,(m-1).

Jadi setiap bilangan bulat akan kongruen dengan m dengan tepat satu diantara 0,1,2,3,...,(m-1).

Contoh :

27 ≡ r (mod 6), tentukan r, jika 0 ≤ r < 6.

Jawab

Karena 0 ≤ r < 6, maka pilihan untuk r tepat satu diantara 0,1,2,3,4,5,6. Yaitu 3.

DEFENISI 5.2:

Jika a ≡ r (mod m) dengan 0 ≤ r < m, maka r disebut residu terkecil dari a modulo m.

Untuk kekongruenan residu terkecil ini, {0,1,2,3,...,(m-1)} disebut himpunan residu terkecil modulo m.

Contoh

Residu terkecil dari 34 modulo 5 adalah 4, sebab sisa dari 34:5 adalah 4.

Walaupun 34 ≡ 9 (mod 5), tetapi 9 bukan residu terkecil dari 34 (mod 5), sebab 9 bukan sisa dari 34:5.

Contoh :

Himpunan residu terkecil dari modulo 5 adalah {0.1,2,3,4}.

Himpunan residu terkecil dari modulo 24 adalah {0.1,2,3,...,23}.



Untuk teorema - teorema bisa dilihat di sini
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/kekongruenan_22.html