KEKONGRUENAN (Definisi dan Teorema)

Hallo sobat Mathematics, kembali lagi di blog Mathematics yang tidak bosan membahas seputar matematika. Karena matematika itu mudah hehe

Kali ini saya akan membahas materi tentang Kekongruenan. oiya ini adalah postingan lanjutan saya. Agar kalian lebih paham, kalian bisa lihat postingan saya sebelum ini

Semoga bermanfaat and enjoyy

Teorema 5.5

Jika a ≡ b (mod m), dan c ≡ d (mod m), maka ax + cy ≡ bx + dy (mod m), untuk setiap bilangan bulat x dan y.

Bukti :

a ≡ b (mod m), berarti a = m.s + b,untuk suatu bilangan bulat s.

c ≡ d (mod m), berarti c = m.t + d, untuk suatu bilagan bulat t.

Jika kedua ruas persamaan pertama dikalikan dengan x, dan kedua ruas persamaan kedua dikalikan dengan y, maka diperoleh :

ax = msx + bx

cy = mty + dy

Dengan menjumlahkan kedua persamaan ini, maka diperoleh bahwa :

ax + cy = (msx + mty) + (bx + dy)

ax + cy = m(sx + ty) + (bx + dy)

(ax + cy) -  (bx + dy) = m(sx + ty)

                            persamaan terakhir ini berarti bahwa :

                            m | (ax + cy) -  (bx + dy)

                            sehingga :

                            (ax + cy) ≡ (bx + dy) (mod m). (Terbukti !)

Contoh :

Jika 21 ≡ 1 (mod 4), dan 16 ≡ 2 (mod 7), maka

(21.3 + 16.4) ≡ (1.3 + 2.4) (mod 7)

(63 + 63) ≡ (3 + 8) (mod 7)

126 ≡ 11 (mod 7).

SIFAT KANSELASI (PENGHAPUSAN)

Pada persamaan / kesamaan bilangan bulat berlaku sifat kaselasi (penghapusan), yaitu :

Misalkan a,b,dan c bilangan bulat, jika ab = ac, dengan a ≠ 0, maka b = c.

Contoh :

Jika 3.x = 3.6, maka x = 6

jika ab ≡ ac (mod m), dengan a ≠ 0

apakah b ≡ c (mod m) ?..

ambil sebuah contoh :

24 ≡ 12 (mod 4)

3.8 ≡ 3.4 (mod 4)

8 ≡ 4 (mod 4)

Akan tetepi, bagaimana dengan contoh berikut :

24 ≡ 12 (mod 4)

2.12 ≡ 2.6 (mod 4)

Apakah 12 ≡ 6 (mod 4)? Jelas tidak, karena 4 tidak membagi (12 – 6)

Teorema 5.6:

Jika ac ≡ bc (mod m), dengan (c,m) = 1, , maka a ≡ b (mod m).

Bukti :

Jika ac ≡ bc (mod m), dengan (c,m) = 1, , akan dibuktikan bahwa a ≡ b (mod m).

Jika ac ≡ bc (mod m), berarti m | (ac – bc),

atau m | c(a – b).

Karena m | c(a – b), dengan (c,m) = 1, maka m | (a – b)

Hal ini berarti bahwa a ≡ b (mod m).

(Terbukti !)

Contoh :

Jika 28.1 ≡ 4.1 (mod 1), maka 28 ≡ 4 (mod 1)

Contoh :

Tentukan bilangan-bilangan bulat y yang memenuhi perkongruenan 3y ≡ 1 (mod 7)?

Jawab :

Karena 1 ≡ 15 (mod 7), maka kita dapat mengganti 1 pada pengkongruenan tersebut dengan 15, sehigga diperoleh :

3y ≡ 15 (mod 7)

Selanjutnya karena (3,7) = 1, maka kita dapat membagi 3 pada ruas-ruas perkongruenan tersebut, Sehingga diperoleh :

y ≡ 5 (mod 7)

berarti:

y ≡ 5 + 7k untuk setiap bilangan bulat k,

atau dapat dikatakan bahwa himpunan penyelesaian dari pengkongruenan tersebut adalah {5 + 7k |k bilangan bulat k}.

Teorema 5.7:

Jika ac ≡ bc (mod m) dengan (c,m) = d,maka a ≡ b (mod m/d).

Bukti :

ac ≡ bc (mod m) berarti m | (ac – bc) atau m| c(a – b), maka m/d | c/d (a-b).

Karena d FPB dari c dan m, maka m/d dan c/d adalah bilangan-bilangan bulat.

Karena (c,m) = d, maka (c/d , m/d) = 1.

Karena (c/d , m/d) = 1, dan m/d | c/d (a-b),maka :

m/d |(a-b)

berarti a ≡ b (mod m/d)

(Terbukti !)

Contoh :

Tentukan x yang memenuhi 2x ≡ 4 (mod 6)

Jawab

2x ≡ 2.2 (mod 6), karena (2,6) = 2, maka :

x ≡ 2 (mod 3)

atau,

x = 3k + 2, untuk setiap bilangan bulat k.

jadi nilai-nilai x adalah {3k + 2}, atau dapat dikatakan bahwa himpunan penyelesaian dari pengkongruenan itu adalah {3k + 2 | k bilangan bulat}.


Postingan sebelumnya
1. https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/kekongruenan.html
2, https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/kekongruenan_22.html