HAPPY WATCHING

Hallo sobat Mathematics , kali ini saya akan menjelaskan beberapa materi Sekolah Menengah Pertama. Tapi kali ini saya akan menjelaskan lewat Video

Seomga bermanfaat and happy watching








Link video
https://www.youtube.com/watch?v=2KBoRSvWyzE

Tokoh-Tokoh Matematika

11.   Blaise Pascal (Prancis 1.623-1.662 M)

Blaise Pascal adalah seorang ahli matematika, fisika, teologi serta penyair. Pascal menjadi sangat tertarik pada matematika, khususnya geometri ketika dia 6 atau 7 tahun. Ketika itu ayahnya menyingkirkan buku matematika karena ia percaya bahwa anak-anak tidak harus belajar bahwa dalam sebuah buku yang sulit. Namun Pascal masih mempelajarinya secara sembunyi-sembunyi. Pada usia 12 tahun tanpa memperoleh bantuan orang lain, ia menemukan bahwa jumlah semua sudut dalam sebuah segitiga selalu 180. Dia menunjukkan kepada ayahnya dan menjelaskan dengan jelas. Ayahnya begitu terpana sampai akhirnya diperbolehkan anaknya terus belajar matematika dengan impunitas. Dalam 19 tahun Pascal telah menemukan mesin hitung yang menggunakan roda gigi. Dalam fisika, ia menemukan prinsip tekanan dalam cairan maka prinsip ini diabadikan dirinya.

12.  Seki Takakazu (Japan 1.642-1.708 M)

Pada waktu hidupnya, Jepang menggunakan sistem angka Cina daripada sistem berbelit-belit dari angka Arab untuk mewakili angka. Mereka juga menggunakan alat-alat yang terbuat dari kayu (disebut Sangi) yang pertama kali dikembangkan di China kuno untuk membangun metode pengukuran. Pada saat itu metode yang luas untuk mengukur Seki menemukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva kurva atau volume benda ruang yang saat ini disebut “integral“.

13.  Isaac Newton (Perancis, 1.642-1.727 M)

Isaac Newton adalah salah satu matematikawan besar serta fisika belajar. Ia menemukan hukum gravitasi dan menyimpulkan teori bahwa gravitasi adalah gaya tarik obyek ke obyek lain. Semakin jauh jarak antara dua benda semakin lemahlah gaya gravitasi antara dua benda. Gerak Bulan mengelilingi bumi dapat dijelaskan dengan hukum gravitasi. Newton juga menemukan hukum gerak yang merupakan dasar dari dinamika. Dia tertarik dengan astronomi dan menemukan jenis teleskop reflektor akhirnya diabadikan dengan namanya.

14.  Gottfried Wilhelm Leibniz (Jerman 1.646-1.716 M)

Ayah Gottfried Wilhelm Leibniz adalah seorang profesor di Universitas tetapi meninggal ketika langkah Leibniz pada usia enam. Sejak itu kaum muda belajar sendiri dan Leibniz membantu dengan bimbingan ibunya. Belajar mandiri membuat Leibniz bebas dari cara berpikir tradisional. Ia dan Newton merumuskan gagasan dasar tentang “kalkulus differensial“.

15.  Johan Gauss (Jerman 1.777-1.885 M)

Johann Gauss adalah seorang jenius dalam aritmatika. Ketika ia berusia 9 tahun seorang guru kepada siswa di kelasnya untuk menambah deretan angka 1 2 3 … 40. Gauss hanya membutuhkan waktu beberapa saat saja tanpa menulis apapun untuk mendapatkan jawaban yang 820. Saat dewasa ia menjadi salah satu tokoh Matematikawan terkenal dunia.

Tokoh-Tokoh Matematika

Hallo sobat Mathematics, kembali lagi di blog Mathematics. Kali ini blog Mathematics ingin membahas tentang Tokoh-Tokoh dalam bidang Matematika. dan postingan ini adalah lanjutan dari postingan sebelumnya. Jadi biar kalian ga ketinggalan kalian harus baca dulu postingan blog Mathematics sebelumnya

Semoga bermanfaat and Enjoyy

6.   Ibnu Sina (980 – 1037 M)

Ibnu Sina dikenal juga sebagai Avicenna di Dunia Barat adalah seorang filsuf, ilmuwan, dan juga dokter kelahiran Persia (sekarang sudah menjadi bagian Uzbekistan). Ia juga seorang penulis yang produktif dimana sebagian besar karyanya adalah tentang filosofi dan pengobatan. Bagi banyak orang, beliau adalah “Bapak Pengobatan Modern” dan masih banyak lagi sebutan baginya yang kebanyakan bersangkutan dengan karya-karyanya di bidang kedokteran. Karyanya yang sangat terkenal adalah Qanun fi Thib yang merupakan rujukan di bidang kedokteran selama berabad-abad. Dia adalah pengarang dari 450 buku pada beberapa pokok bahasan besar. Banyak di antaranya memusatkan pada filosofi dan kedokteran. Dia dianggap oleh banyak orang sebagai “bapak kedokteran modern.” George Sarton menyebut Ibnu Sina “ilmuwan paling terkenal dari Islam dan salah satu yang paling terkenal pada semua bidang, tempat, dan waktu.

7.   Leonardo Da Vinci (Italia, 1452-1519 M)

Sejak kecil Leonardo Da Vinci telah menunjukkan kemampuan khusus dalam bidang matematika, lukisan musik, dan daerah lainnya. Secara khusus ia mencintai lukisan dan studi seni. Sebagai seorang pelukis dan pematung, ia menghasilkan sebuah karya, salah satunya yang terkenal karena lukisan Monalisa. Sebagai arsitek terkemuka ia juga meninggalkan banyak karya-karya besar dan monumental. Leonardo Da Vinci juga mempelajari geometri dan menggunakan metode membuat subjek lukisan jatuh di atas segitiga imajiner. Metode ini disebut komposisi piramida. Untuk melukis gambar ruang pada kanvas datar ia menggunakan semua metode garis horizontal paralel terlihat menuju titik tertentu. Metode ini dikenal dengan nama perspektif.

8.   Copernicus (Polandia, 1.473-1.543 M)

Copernicus mempelajari astronomi, matematika, fisika, ilmu pengetahuan, hukum dan kedokteran. Harinya umumnya percaya bahwa Matahari, Bulan dan bintang bergerak mengelilingi bumi karena bumi dianggap sebagai pusat tata surya. Tapi Copernicus yakin bahwa pusat alam semesta bukanlah bumi, namun Matahari di mana semua benda-benda langit berputar mengelilingi matahari. Ini bertentangan dengan filsafat pikiran Copernicus dan agama tradisional. Yang terkenal mengungkapkan teorinya dalam bukunya berjudul “rotasi benda-benda langit“. Ia mendapat ancaman hukuman mati atas teorinya tersebut oleh Gereja, karena dianggap menentang dogma-dogma akademik yang dikeluarkan Gereja.

9.   Galileo Galilei (Italia, 1564-1642 M)

Galileo belajar matematika, fisika dan astronomi. Setelah orang percaya bahwa kecepatan benda jatuh tergantung pada berat benda dijatuhkan. Dalam teori itu disebutkan bahwa jatuhnya benda yang lebih berat akan lebih cepat daripada benda ringan. Galileo membantah teori atas dasar keyakinan bahwa kecepatan jatuhnya sebuah benda tidak tergantung pada berat badan. Dia membuktikannya dengan menjatuhkan dua potong logam yang satu lebih berat dari yang lain dari atas Menara Miring Pisa. Bahkan pada titik ini semua orang setuju teorinya benar, tapi hari dengan bukti secara langsung menerima teori bahwa orang dengan takjub besar. Setiap saat ketika ia menonton berayun pada chandelier Gereja, ia mencatat bahwa terlepas dari berapa banyak benda itu berayun ke samping, waktu yang dibutuhkan untuk setiap gerakan 1 bolak-balik (getaran) adalah sama. Pada akhir hidupnya Galileo Galilei dijatuhi hukuman mati oleh Gereja untuk mendukung gagasan Copernicus bahwa bumi berputar mengelilingi matahari.

10. Rene Descartes (France 1.596-1.650 M)

Descartes mempelajari Matematika, fisika, politik dan filsafat. Dia adalah orang yang pertama kali menggunakan sistem dua atau tiga nomor seperti (A, B) atau (A, B, C) sebagai koordinat untuk menggambarkan poin di pesawat atau di ruang angkasa. Dengan cara ini pernyataan tentang gambar dalam geometri dari titik digariskan oleh Euclides dapat diterjemahkan ke dalam pernyataan mengenai angka. Menurut saga, Descartes mendapat ide ketika ia sedang terbaring sakit di tempat tidur.


Postingan sebelumnya

Tokoh-Tokoh Matematika

Hallo sobat Mathematics, kembali lagi di blog Mathematics. Kali ini Blog Mathematics ingin membahas sedikit tentang Tokoh-Tokoh Matematika

Semoga bermanfaat and Enjoyyy

Matematika adalah ibu dari ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan eksakta. Dalam kesempatan ini saya akan berbagi mengenai tokoh-tokoh Matematika dunia yang berjasa dalam perkembangan ilmu pengetahuan. Berikut ini 15 tokoh matematika terkenal yang layak anda ketahui :

1. Thales (Yunani, 624-546 SM)

sumber : Kompasiana.com

Thales adalah seorang filsuf. Tokoh ini akli dalam bidang matematika, astronomi, fisika dan ilmu alam. Thales lahir di Yunani dan kemudian pergi ke Mesir untuk belajar. Ia mengukur ketinggian piramida dengan menggunakan konsep ruang dan waktu untuk bangun serta memprediksi peredaran Matahari. Tak heran ia disebut sebagai bapak Matematika dan Astronomi.

2.    Phytagoras (Yunani, 582-493 SM)

sumber : Smart_ebook

Meskipun Phytagoras adalah master filsafat tapi dia juga mempelajari musik dan ilmu-ilmu lainnya. Ia lahir di Yunani dan kemudian ke Mesir dan Babilonia untuk belajar. Phytagoras terkenal dengan bukti-bukti yang menjelaskan bahwa dalam segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari kedua sisi yang lainnya. Sebuah segitiga siku-siku yang sisi-sisinya ke 3: 4: 5 adalah dasar dari proposisi matematika untuk perhitungan sudut dalam segitiga a² + b² = c²

3.    Euclides (Yunani, sekitar 300 SM)

sumber : Wikipedia

Euclides menulis sebuah buku 13-volume geometri. Dalam buku-bukunya ia menyatakan aksioma (pernyataan sederhana) dan membangun semua bukti tentang geometri berdasarkan aksioma. Contoh Euclides aksioma adalah, “ada satu dan hanya satu garis lurus garis lurus, di mana dua garis lurus melewati titik“. Buku-buku menjadi karya-karyanya sangat penting dan menjadi acuan dalam materi Geometri.

4.    Archimedes (Yunani, 287-212 SM)

sumber : Histori Extra

Archimedes mempelajar matematika, fisika dan membuat banyak penemuan. Ia menemukan prinsip tuas yang dapat menggerakkan benda berat hanya dengan sedikit usaha. Dia menunjukkan hal ini dengan menggerakkan prinsip kapal dengan tuas. Eucildes juga mengatakan, “jika saya diberi sebuah tuas yang cukup panjang dan titik penumpu, saya dapat memindahkan Bumi“. Euclides menggunakan pengetahuannya tentang kepadatan untuk menemukan bahwa mahkota yang dibuat untuk Raja dibuat dengan emas murni. Ia juga mempelajari lingkaran dan menemukan rumus untuk keliling lingkaran dan luas lingkaran.

5.    Ali bin Abi Thalib (Saudi Arabia 658-695 M)

sumber : Alif.ID

Sejak kecil Ali bin Abi Thalib seperti berbagai ilmu dan berpartisipasi dengan Nabi Muhammad. Kemudian Ali menikah dengan putri Rasul, Fatimah ra dan tinggal di sangat sangat sederhana. Meski tinggal di kesederhanaan Ali tidak surut dalam mencari ilmu pengetahuan, tak heran bila Rasul pernah bersabda, “Jika saya Kota Ilmu maka Ali adalah gerbang“. Ketika nomor simbol awal dalam matematika menggunakan huruf seperti yang pernah diajarkan oleh orang Romawi sebagai Ali mempopulerkan simbol angka dalam huruf Arab dengan yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 0 . Ali juga yang menyederhanakan penulisan lambang dari angka Romawi di mana sepuluh dengan “X”, dengan “C” ratus, seribu dengan “M” dan seterusnya status penduduk tetap dengan menambahkan angka nol di belakangnya seperti 10, 100, 1000 dan seterusnya.

Sejarah Angka 1

Hallo Sobat Mathematics, kali ini saya akan membahas tentang Sejarah Angka 1. Semoga bermanfaat and Enjoyy

Alat bantu hitung selain anggota badan diperkirakan mulai digunakan sejak Zaman Paleolitikum Akhir, sekitar 30.000–50.000 tahun yang lalu. Batu kerikil menjadi salah satu alat bantu hitung utama saat itu. Sekadar trivia: kata calculation (penghitungan) berasal dari bahasa Latin calculus, bentuk diminutif dari calx (batu gamping), kemungkinan dipinjam dari bahasa Yunani Kuna χάλιξ (khálix) yang artinya batu kerikil

Alat bantu lain yang sering digunakan adalah tulang atau tongkat kayu yang ditoreh. Kenal dengan simbol-simbol di bawah ini?

Inilah yang disebut tally marks (tanda penghitung), sistem bilangan unary (basis satu) yang dulunya sering ditorehkan pada tulang atau tongkat kayu sebagai alat bantu hitung.[2] Sistem ini merupakan salah satu sistem pencatatan tertua di dunia, cikal-bakal perekaman bahasa dalam bentuk tertulis. Tally marks ditemukan di berbagai kebudayaan purba terlepas lokasinya. Simbol-simbol inilah juga yang kemudian melahirkan sistem penulisan bilangan yang lain.

Mulai dari angka Romawi,

angka China,

semuanya memiliki kesamaan, yaitu menggunakan simbol serupa tally marks untuk setidaknya tiga digit pertama.

Seiring waktu, simbol-simbol ini berevolusi, namun angka 1 tetap mempertahankan bentuk distingtif sekali garisnya (one stroke). Berikut evolusi penulisan angka satu di sistem Brahmi.

Bentuk paling kananlah yang lazim digunakan oleh orang Arab dan dibawa ke Eropa—oleh karena itu kita menyebutnya “Angka Arab”. Di Eropa, terkadang angka ini ditambahi serif horizontal di bagian bawah, mungkin terpengaruh sistem Romawi yang dipakai sebelumnya.

Menariknya, jika kita bandingkan kembali dengan tally marks di atas, angka 1 seolah kembali ke bentuk asalnya setelah beribu-ribu tahun!

Dari sisi bahasa, kata “satu” etimologinya cukup menarik. Bentuk Proto-Melayik dari kata ini adalah *əsaʔ menurut rekonstruksi Adelaar. Keturunan langsungnya adalah kata “esa” di bahasa Melayu/Indonesia Modern.[7] Sebagai pembanding, di bahasa-bahasa Melayik lainnya, ada so (Kelantan-Pattani), asa (Banjar), saq (Urak Lawoi’), sao (Kerinci), dan sebagainya.

Kata “satu” sendiri kemungkinan berasal dari leksikalisasi *sa- + *(i)tu(ʔ). Imbuhan *sa- merupakan bentuk pendek dari *əsaʔ. Padanannya di bahasa Melayu Modern adalah imbuhan “se-”. Sedangkan *(i)tu(ʔ) merupakan nenek moyang dari kata “itu”.

Sederhananya, kata “satu” kemungkinannya berasal dari “se-itu”, dimana “itu” merupakan kata ganti untuk apapun.

Sejarah Angka 0

Hallo sobat Mathematics, kali ini saya akan membahas tentang Sejarah Angka 0. Semoga bermanfaat and Enjoyyy

sumber : Sains Kompas

Penemuan angka 0 (nol) menyimpan sejarah yang berliku. Asal-usul angka nol kemungkinan besar berasal dari Hilal Subur di Mesopotamia kuno.

Pada 4000 tahun silam, para penulis Sumeria menggunakan spasi untuk mengisi kekosongan pada kolom angka. Namun, penggunaan simbol nol pertama kali tercatat pada abad ketiga SM, di Babilon kuno.

Masyarakat Babilon mengembangkan simbol spesifik untuk membedakan antara besaran. Simbol tersebut berfungsi sama seperti sistem desimal zaman modern yang menggunakan angka nol untuk memisahkan puluhan, ratusan, dan ribuan.

Jenis simbol juga muncul di Amerika pada 350 Masehi. Saat itu bangsa Maya mulai menggunakan penanda nol di kalender mereka. Sistem penghitungan kuno ini menggunakan nol sebagai placeholder, bukan angka yang memiliki nilai uniknya sendiri.

Pemahaman tersebut berubah ketika sampai di India pada abad ke tujuh Masehi. Di sana, seorang matematikawan, Brahmagupta dan yang lainnya, menggunakan titik-titik kecil di bawah angka untuk menunjukkan placeholder nol. Namun, menurut mereka nol juga memiliki nilai sendiri, yaitu null (tidak ada), dan disebut dengan ‘sunya’.

Brahmagupta juga merupakan orang yang pertama kali menunjukkan bahwa pengurangan angka dengan angka yang senilai akan menghasilkan nol. Dari India, nol berkembang menuju China dan kembali ke Timur Tengah, di mana ia diangkat oleh seorang matematikawan, Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi, sekira tahun 773.

al-Khowarizmi adalah yang pertama kali mensintesis aritmatika India dan menunjukkan bahwa nol berfungsi dalam persamaan aljabar. Pada abad ke sembilan, angka nol mulai berperan dalam sistem angka Arab, berbentuk oval seperti yang digunakan saat ini.

Perjalanan angka nol terus berlanjut selama beberapa abad hingga akhirnya mencapai Eropa pada 1100-an. Para pemikir seperti ahli matematika dari Italia, Fibonacci, membantu memperkenalkan nol pada khalayak.

Angka nol kemudian muncul di karya Rene Descartes, bersama dengan penemuan kalkulus Sir Isaac Newton dan Gottfried Leibniz. Sejak demikian, konsep ‘tidak ada’ itu terus berperan dalam segala perkembangan, dari ilmu fisika, ekonomi, teknik, hingga komputasi.

FAKTORISASI BILANGAN BULAT

Hallo sobat Mathematics, kali ini saya akan membahas materi tentang Faktorisasi Bilangan Bulat. Oiya ini adalah lanjutan dari ostingan saya sebelumnya. Agar lebih paham alangkah lebih baiknya melihat terlebih dahulu postingan saya sebelumnya

Semoga bermanfaat and Enjoyyy

Teorema 4.3:

Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki faktor k dengan 1 < k £ Ön

Bukti:

Karena n suatu bilangan komposit, maka ada bilangan-bilangan positif k dan m sedemikian hingga:

Km = n dengan 1 < k < n dan 1 < m < n

Apabila k > Ön dan k > Öm maka

n = km > Ön Ön = n

n > n (tidak mungkin). Oleh karena itu, salah satu dari k atau m tidak lebih kecil dari Ön. Jadi, n memiliki faktor k dengan 1 < k £Ön

Teorema 4.4:

Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki suatu faktor prima yang lebih kecil atau sama dengan Ön.

Bukti teorema 4.4 menggunakan kontraposisi, yaitu:

Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki faktor prima p dengan 1 < p ≤ Ön

Contoh

Apakah 907 adalah bilangan prima?

Penyelesaian :

Coba dibagi 907 dengan bilangan-bilangan prima yang kurang dari Ö907

Ö907 = 30,116

Maka bilangan primanya adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 , dan 29. karena tidak ada satupun dari bilangan prima tersebut yang membagi 907, maka 907 adalah bilangan prima.

FAKTORISASI TUNGGAL

Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif atas faktor-faktor prima adalah tunggal sehingga dikenal sebagai faktorisasi tunggal. Berikut ini akan diberikan beberapa teorema yang harus diketahui sebagai persiapan untuk mempelajari faktorisasi tunggal

Teorema 4.5:

Jika p suatu bilangan prima dan p│ab maka p│a dan p│b

Bukti:

       karena p suatu bilangan prima, maka untuk sebarang bilangan bulat a berlaku (a, p) = 1 atau (a,p) = p. jika (a,p) = 1 dan p | ab. Karena p | b dan jika (a,p) = p maka p | a. jadi terbukti bahwa p | a atau p | b

Teorema 4.6:

Jika suatu bilangan prima dan p│a₁, a₂, a₃, ... , a_n maka p│a_i untuk suatu i = 1, 2, 3, ... , n

Bukti :

Pada teorema 4.2 kita telah membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian dari bilangan-bilangan prima tertentu. Sekarang kita akan membuktikan bahwa faktor-faktor  prima tersebut adalah tunggal.

Ambil sembarang bilangan bulat positif  n 1. Jika n suatu bilang prima, maka n adalah faktornya sendiri. Jika n suatu bilangan komposit dan diandaikan bahwa pemfaktoran n atas faktor prima adalah tidak tunggal,misalnya n = p₁,p₂,p₃,…,p_t dan n = q₁,q₂,q₃,…q_r dengan p_i dan q_j masing-masing adalah bilangan prima untuk  i = 1,2,3,…,r serta  p₁  dan q₁

Karena n = p₁p₂ …p_t maka  p₁|n sehingga p₁|q₁q₂q₃…qr dan selanjutnya menurut perluasan teorema 4.5,maka p₁-q_k untuk suatu k dengan 1  dan mengingat q1

Karena n =q₁q₂…q_r maka q₁|n sehingga q₁ |p₁p₂…p_t. dan menurut perluasan teorema 4.5,maka q₁=p_m.untuk suatu m denga 1  dan mengingat p1

Karena p1  sehingga dari permisalan n di atas kita memperoleh bahwa p₂,p₃…p_t=q₂q₃…q_r. Bila proses ini diteruskan,maka kita akan memperoleh bahwa p₂=q₂ sehingga p₃ p₄…p_t=q₃q₄…q_r. P₃=q₃ sehingga p₄ p₅…p_t=q₄ q₅ …q_r   dan seterusnya.

Apabila t=r maka proses tersebut akan berakhir pada p_t=q_r dan teorema terbukti. Tetapi apabil t maka akan diperoleh bahwa :

                   1=q₁+1 q₁+2 q₁+3…qr.

Hal ini mustahil,karena q_t+1q_t+2q_t+3…q_r adalah bilangan-bilangan prima,maka haruslah t=r sehingga :

                   P₁=q₁.p₂=q₂.p₃=q₃…p_t=q_r

Ini berarti bahwa bilangan bulat positif n tersebut hanya dapat dinyatakan sebagai hasilkali faktor-faktor prima secara tunggal.

Teorema 4.7 (Teorema Euclides)

Banyaknya bilangan prima adalah tak hingga

Taeorema 4.8:

Dalam suatu barisan bilangan prima, jika Pn menyatakan bilangan prima ke-n, maka:

       Pn ≤ 2^2n-1

Postingan sebelumnya
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/faktorisasi-bilangan-bulat.html

FAKTORISASI BILANGAN BULAT

Hallo soba Mathematics, kali ini saya membahas tentang Faktorisasi Bilangan Bulat. Semoga bermanfaat and Enjoyyy

Bilangan Prima

a dan b dikatakan saling prima apabila (a,b) = 1

Apabila (,  ,  , ... , ) = 1, maka dikatakan bahwa ,  ,  , ... ,  saling prima. Bilangan-bilangan bulat positif ,  ,  , ... , , saling prima dua-dua (saling prima sepasang) jika ( , ) = 1 untuk i = 1,2,3,...,n dan j = 1,2,...,n dengan i  j

Contoh :

(5, 8, 9) = 1

5,8,9 dikatakan saling prima dua dua sebab (5,8) = (5,9) = (8,9) = 1

(3, 4, 8, 9) = 1

3, 4, 8, 9 dikatakan saling prima tetapi bukan saling prima dua dua karena (3,9) = 3 dan (4,8) = 4

Definisi 1

Bilangan bulat positif yang lebih besar 1 dan tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri disebut bilangan prima.

Barisan bil. Prima : 2,3,5,7,11,13,17,...

Barisan bil. Komposit : 4,6,8,9,10,12,14,15,...

Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit (tersusun).

1 bukan bilangan prima dan bukan pula bilangan komposit.

1 disebut unit

Teorema 4.1 :

Setiap bilangan bulat positif dan yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima.

Bukti:

Karena n suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu maka n mempunyai sekurang-kurangnya satu faktor bulat positif, katakana n sendiri.

Sehingga n mesti mempunyai faktor bulat positif terkecil, misalnya q maka q adalah suatu bilangan prima. Jika q bukan bilangan prima, maka q = q1q2 dengan 1 < q1 < q sehingga q1 faktor bulat positif dari n, tetapi karena q adalah faktor bulat positif terkecil dari n, maka terdapat kontradiksi.

Teorema 4.2 :

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima.

Bukti:

Menurut teorema 4.1 ada suatu bilangan prima p1 sedemikian hingga p1 | n. sehingga ada suatu bilangan positif n1, sehingga

N = p1n1 dengan 1 ≤ n1 < n.

Jika n1 = 1, maka n = p1 sehingga n suatu bilangan prima tetapi jika n1 > 1, maka menurut teorema 4.1 sehingga

N1 = p2 n2 dengan 1 ≤ n2 < n1

jika n2 = 1, maka n1 = p2 sehingga n = p1p2. berarti teorema terbukti. Tetapi jika n2 > 1, maka ada suatu bilangan prima p3 sedemikian hingga

N2 = p3n3 dengan 1 ≤ n3 < n2

jika n3 = 1, maka n2 = p3 sehingga n = p1p2p3. berarti teorema terbukti . Tetapi jika n3 > 1, Maka proses seperti diatas . akan berulang hingga nk = 1. maka diperoleh n = p1p2p3 . . . Pk. Yaitu bilangan bulat positif n > 1 dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima

Teorema-teorema selanjutnya
https://nurainynovitasari.blogspot.com/2019/07/faktorisasi-bilangan-bulat_24.html